Integral de ((x^(5/6))-5x^2+3)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{5}{6}}$.

      Luego que $du = \frac{5 dx}{6 \sqrt[6]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{- 30 u^{\frac{12}{5}} + 6 u + 18}{5 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- 30 u^{\frac{12}{5}} + 6 u + 18}{u}\, du = \frac{\int \frac{- 30 u^{\frac{12}{5}} + 6 u + 18}{u}\, du}{5}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{30 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}} - 18 u - 6}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{30 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}} - 18 u - 6}{u^{2}} = \frac{30 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}{u} - \frac{18}{u} - \frac{6}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{30 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}{u}\, du = 30 \int \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}{u}\, du$

                  1. que $u = \frac{1}{u}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- u^{\frac{7}{5}}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int u^{\frac{7}{5}}\, du = - \int u^{\frac{7}{5}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{\frac{7}{5}}\, du = \frac{5 u^{\frac{12}{5}}}{12}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{\frac{12}{5}}}{12}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{5 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}{12}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{25 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{18}{u}\right)\, du = - 18 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 18 \log{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{6}{u^{2}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{u}$

               El resultado es: $- \frac{25 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{12}{5}}}{2} - 18 \log{\left(u \right)} + \frac{6}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{25 u^{\frac{12}{5}}}{2} + 6 u + 18 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{\frac{12}{5}}}{2} + \frac{6 u}{5} + \frac{18 \log{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{18 \log{\left(x^{\frac{5}{6}} \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{\frac{5}{6}} - 5 x^{2}\right) + 3}{x} = - \frac{- x^{\frac{5}{6}} + 5 x^{2} - 3}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- x^{\frac{5}{6}} + 5 x^{2} - 3}{x}\right)\, dx = - \int \frac{- x^{\frac{5}{6}} + 5 x^{2} - 3}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}} + 3 u^{2} - 5}{u^{3}}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{- 5 u^{\frac{25}{6}} + 3 u^{\frac{13}{6}} + u^{3}}{u^{\frac{19}{6}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{- 5 u^{\frac{25}{6}} + 3 u^{\frac{13}{6}} + u^{3}}{u^{\frac{19}{6}}}\, du = - \int \frac{- 5 u^{\frac{25}{6}} + 3 u^{\frac{13}{6}} + u^{3}}{u^{\frac{19}{6}}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{- 5 u^{\frac{25}{6}} + 3 u^{\frac{13}{6}} + u^{3}}{u^{\frac{19}{6}}} = - 5 u + \frac{3}{u} + \frac{1}{\sqrt[6]{u}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 5 u\right)\, du = - 5 \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{2}}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt[6]{u}}\, du = \frac{6 u^{\frac{5}{6}}}{5}$

                  El resultado es: $\frac{6 u^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{5 u^{2}}{2} + 3 \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 u^{\frac{5}{6}}}{5} + \frac{5 u^{2}}{2} - 3 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{6 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}}{5} + 3 \log{\left(u \right)} + \frac{5}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5} + \frac{5 x^{2}}{2} - 3 \log{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{5 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{\frac{5}{6}} - 5 x^{2}\right) + 3}{x} = - 5 x + \frac{3}{x} + \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 x\right)\, dx = - 5 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[6]{x}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{5 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{5 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{5 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{5 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$