Integral de 2ln(3x)-1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \log{\left(3 x \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{u}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \log{\left(3 x \right)} - x$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x \log{\left(3 x \right)} - 2 x$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

   El resultado es: $2 x \log{\left(3 x \right)} - 3 x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(2 \log{\left(3 x \right)} - 3\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(2 \log{\left(3 x \right)} - 3\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(2 \log{\left(3 x \right)} - 3\right)+ \mathrm{constant}$