Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x+1)/ lnx(x+1)

Integral de lnx(x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  4                  
  /                  
 |                   
 |  log(x)*(x + 1) dx
 |                   
/                    
1
∫14(x+1)log⁡(x) dx\int\limits_{1}^{4} \left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral(log(x)*(x + 1), (x, 1, 4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(ue2u+ueu) du\int \left(u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        El resultado es: ue2u2+ueu−e2u4−eu\frac{u e^{2 u}}{2} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{4} - e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)log⁡(x)=xlog⁡(x)+log⁡(x)\left(x + 1\right) \log{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=x+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x + 1.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: x22+x\frac{x^{2}}{2} + x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x22+xx=x2+1\frac{\frac{x^{2}}{2} + x}{x} = \frac{x}{2} + 1

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x24+x\frac{x^{2}}{4} + x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)log⁡(x)=xlog⁡(x)+log⁡(x)\left(x + 1\right) \log{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             2               2       
 |                             x               x *log(x)
 | log(x)*(x + 1) dx = C - x - -- + x*log(x) + ---------
 |                             4                   2    
/
∫(x+1)log⁡(x) dx=C+x2log⁡(x)2−x24+xlog⁡(x)−x\int \left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)} - x
Simplificar
Gráfica
1.004.001.251.501.752.002.252.502.753.003.253.503.75-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-27/4 + 12*log(4)
−274+12log⁡(4)- \frac{27}{4} + 12 \log{\left(4 \right)} 
=
= 
-27/4 + 12*log(4)
−274+12log⁡(4)- \frac{27}{4} + 12 \log{\left(4 \right)} 
-27/4 + 12*log(4)
Respuesta numérica [src] 
9.88553233343869
9.88553233343869

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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