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Resolución de integrales/ x^2+y/ y/x^2/ x/(x^2+y^2)-y/x^2

Integral de x/(x^2+y^2)-y/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |  /   x      y \   
 |  |------- - --| dx
 |  | 2    2    2|   
 |  \x  + y    x /   
 |                   
/                    
0
∫01(xx2+y2−yx2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{x}{x^{2} + y^{2}} - \frac{y}{x^{2}}\right)\, dx 
Integral(x/(x^2 + y^2) - y/x^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xx2+y2 dx=∫2xx2+y2 dx2\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}\, dx}{2}

      1. que u=x2+y2u = x^{2} + y^{2}.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x2+y2)\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+y2)2\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−yx2) dx=−y∫1x2 dx\int \left(- \frac{y}{x^{2}}\right)\, dx = - y \int \frac{1}{x^{2}}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=0, context=1/(x**2), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=1, c=0, context=1/(x**2), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=0, context=1/(x**2), symbol=x), False)], context=1/(x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: NaN\text{NaN}

    El resultado es: NaN\text{NaN}

  2. Añadimos la constante de integración:

    NaN+constant\text{NaN}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

NaN+constant\text{NaN}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                       
 |                        
 | /   x      y \         
 | |------- - --| dx = nan
 | | 2    2    2|         
 | \x  + y    x /         
 |                        
/
∫(xx2+y2−yx2) dx=NaN\int \left(\frac{x}{x^{2} + y^{2}} - \frac{y}{x^{2}}\right)\, dx = \text{NaN}
Simplificar
Respuesta [src] 
       /     2\             
    log\1 + y /             
y + ----------- - oo*sign(y)
         2
y+log⁡(y2+1)2−∞sign⁡(y)y + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} - \infty \operatorname{sign}{\left(y \right)} 
=
= 
       /     2\             
    log\1 + y /             
y + ----------- - oo*sign(y)
         2
y+log⁡(y2+1)2−∞sign⁡(y)y + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} - \infty \operatorname{sign}{\left(y \right)} 
y + log(1 + y^2)/2 - oo*sign(y)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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