1 / | | 2 | x *atan(x) | ---------- dx | 2 | 1 + x | / 0
Integral((x^2*atan(x))/(1 + x^2), (x, 0, 1))
TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=tan(_theta)**2*atan(tan(_theta)), substep=PartsRule(u=atan(tan(_theta)), dv=tan(_theta)**2, v_step=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), second_step=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=_theta, substep=PowerRule(base=_theta, exp=1, context=_theta, symbol=_theta), context=-_theta, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=sin(_theta)/cos(_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=1/_u, substep=ReciprocalRule(func=_u, context=1/_u, symbol=_u), context=1/_u, symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta), symbol=_theta), context=tan(_theta), symbol=_theta)], context=-_theta + tan(_theta), symbol=_theta), context=tan(_theta)**2*atan(tan(_theta)), symbol=_theta), restriction=True, context=(x**2*atan(x))/(x**2 + 1), symbol=x)
Ahora simplificar:
Añadimos la constante de integración:
Respuesta:
/ | | 2 2 | x *atan(x) atan (x) / 1 \ | ---------- dx = C + -------- + (x - atan(x))*atan(x) + log|-----------| | 2 2 | ________| | 1 + x | / 2 | | \\/ 1 + x / /
2 log(2) pi pi - ------ - --- + -- 2 32 4
=
2 log(2) pi pi - ------ - --- + -- 2 32 4
-log(2)/2 - pi^2/32 + pi/4
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.