Sr Examen

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Integral de lnx*x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |          2   
 |  log(x)*x  dx
 |              
/               
0               
01x2log(x)dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx
Integral(log(x)*x^2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ue3udu\int u e^{3 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

        Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=3uu = 3 u.

          Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

          eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        e3u3du=e3udu3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

        1. que u=3uu = 3 u.

          Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

          eu3du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x3log(x)3x39\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      x23dx=x2dx3\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{3}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: x39\frac{x^{3}}{9}

  2. Ahora simplificar:

    x3(3log(x)1)9\frac{x^{3} \left(3 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{9}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x3(3log(x)1)9+constant\frac{x^{3} \left(3 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x3(3log(x)1)9+constant\frac{x^{3} \left(3 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                 
 |                     3    3       
 |         2          x    x *log(x)
 | log(x)*x  dx = C - -- + ---------
 |                    9        3    
/                                   
x2log(x)dx=C+x3log(x)3x39\int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.2-0.2
Respuesta [src]
-1/9
19- \frac{1}{9}
=
=
-1/9
19- \frac{1}{9}
-1/9
Respuesta numérica [src]
-0.111111111111111
-0.111111111111111

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.