Integral de lnx-(lnx)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \log{\left(x \right)}^{2}\right)\, dx = - \int \log{\left(x \right)}^{2}\, dx$

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $- x \log{\left(x \right)}^{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(- \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} - 3\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(- \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} - 3\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(- \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} - 3\right)+ \mathrm{constant}$