Integral de ((3arctg^3x)+5x-7)/(1+x^2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\left(5 x + 3 \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}\right) - 7}{x^{2} + 1} = \frac{5 x}{x^{2} + 1} + \frac{3 \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} - \frac{7}{x^{2} + 1}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5 x}{x^{2} + 1}\, dx = 5 \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx = 3 \int \frac{\operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. que $u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x^{2} + 1}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{7}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- 7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{5 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + \frac{3 \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{4} - 7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + \frac{3 \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{4} - 7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + \frac{3 \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)}}{4} - 7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$