Integral de (x^3-2x^1.5+1)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{3}{2}}$.

      Luego que $du = \frac{3 \sqrt{x} dx}{2}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{2 u^{2} - 4 u + 2}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{2} - 4 u + 2}{u}\, du = \frac{\int \frac{2 u^{2} - 4 u + 2}{u}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{2} - 4 u + 2}{u} = 2 u - 4 + \frac{2}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-4\right)\, du = - 4 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u^{2} - 4 u + 2 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{3} - \frac{4 u}{3} + \frac{2 \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{3}\right) + 1}{x} = - 2 \sqrt{x} + x^{2} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sqrt{x}\right)\, dx = - 2 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$