Integral de ln(x²+4)-ln(x²+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x^{2} + 1 \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

               PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

               Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

            El resultado es: $x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + 2 x - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 4}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} + 4} = 1 - \frac{4}{x^{2} + 4}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{x^{2} + 4}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

            PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 4), symbol=x)

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         El resultado es: $x - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   El resultado es: $- x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + x \log{\left(x^{2} + 4 \right)} + 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + x \log{\left(x^{2} + 4 \right)} + 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + x \log{\left(x^{2} + 4 \right)} + 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + x \log{\left(x^{2} + 4 \right)} + 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$