Sr Examen

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Integral de sen^33xcos3xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                      
  /                      
 |                       
 |     3                 
 |  sin (3*x)*cos(3*x) dx
 |                       
/                        
0                        
01sin3(3x)cos(3x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{3}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx
Integral(sin(3*x)^3*cos(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin(3x)u = \sin{\left(3 x \right)}.

      Luego que du=3cos(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      u33du\int \frac{u^{3}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u3du=u3du3\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{3}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: u412\frac{u^{4}}{12}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin4(3x)12\frac{\sin^{4}{\left(3 x \right)}}{12}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin3(3x)cos(3x)=(1cos2(3x))sin(3x)cos(3x)\sin^{3}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}

    2. que u=cos2(3x)u = - \cos^{2}{\left(3 x \right)}.

      Luego que du=6sin(3x)cos(3x)dxdu = 6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} dx y ponemos dudu:

      (u6+16)du\int \left(\frac{u}{6} + \frac{1}{6}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          u6du=udu6\int \frac{u}{6}\, du = \frac{\int u\, du}{6}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u212\frac{u^{2}}{12}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          16du=u6\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}

        El resultado es: u212+u6\frac{u^{2}}{12} + \frac{u}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      cos4(3x)12cos2(3x)6\frac{\cos^{4}{\left(3 x \right)}}{12} - \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{6}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin4(3x)12+constant\frac{\sin^{4}{\left(3 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

sin4(3x)12+constant\frac{\sin^{4}{\left(3 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                     
 |                                4     
 |    3                        sin (3*x)
 | sin (3*x)*cos(3*x) dx = C + ---------
 |                                 12   
/                                       
sin3(3x)cos(3x)dx=C+sin4(3x)12\int \sin^{3}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{4}{\left(3 x \right)}}{12}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Respuesta [src]
   4   
sin (3)
-------
   12  
sin4(3)12\frac{\sin^{4}{\left(3 \right)}}{12}
=
=
   4   
sin (3)
-------
   12  
sin4(3)12\frac{\sin^{4}{\left(3 \right)}}{12}
sin(3)^4/12
Respuesta numérica [src]
3.30501263648752e-5
3.30501263648752e-5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.