Integral de 12x^3(6x^4-17)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 6 x^{4} - 17$.

      Luego que $du = 24 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{4}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(6 x^{4} - 17\right)^{5}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $12 x^{3} \left(6 x^{4} - 17\right)^{4} = 15552 x^{19} - 176256 x^{15} + 749088 x^{11} - 1414944 x^{7} + 1002252 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15552 x^{19}\, dx = 15552 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3888 x^{20}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 176256 x^{15}\right)\, dx = - 176256 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 11016 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 749088 x^{11}\, dx = 749088 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $62424 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1414944 x^{7}\right)\, dx = - 1414944 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 176868 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1002252 x^{3}\, dx = 1002252 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $250563 x^{4}$

      El resultado es: $\frac{3888 x^{20}}{5} - 11016 x^{16} + 62424 x^{12} - 176868 x^{8} + 250563 x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(6 x^{4} - 17\right)^{5}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(6 x^{4} - 17\right)^{5}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(6 x^{4} - 17\right)^{5}}{10}+ \mathrm{constant}$