Integral de 5^(2*x)+2*x/5 dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{5^{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{2}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5^{2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{5}\, dx = \frac{\int 2 x\, dx}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{5}$

   El resultado es: $\frac{5^{2 x}}{2 \log{\left(5 \right)}} + \frac{x^{2}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5^{2 x + 1} + x^{2} \log{\left(25 \right)}}{10 \log{\left(5 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5^{2 x + 1} + x^{2} \log{\left(25 \right)}}{10 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5^{2 x + 1} + x^{2} \log{\left(25 \right)}}{10 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$