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Resolución de integrales/ 1+x^2/ x^2+y/ y/(1+x^2+y^2)

Integral de y/(1+x^2+y^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |       y        
 |  ----------- dx
 |       2    2   
 |  1 + x  + y    
 |                
/                 
0
∫01yy2+(x2+1) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{y}{y^{2} + \left(x^{2} + 1\right)}\, dx 
Integral(y/(1 + x^2 + y^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫yy2+(x2+1) dx=y∫1y2+(x2+1) dx\int \frac{y}{y^{2} + \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = y \int \frac{1}{y^{2} + \left(x^{2} + 1\right)}\, dx

    1. Integral 1x2+1\frac{1}{x^{2} + 1} es atan⁡(xy2+1)y2+1\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2} + 1}} \right)}}{\sqrt{y^{2} + 1}}.

    Por lo tanto, el resultado es: yatan⁡(xy2+1)y2+1\frac{y \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2} + 1}} \right)}}{\sqrt{y^{2} + 1}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    yatan⁡(xy2+1)y2+1+constant\frac{y \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2} + 1}} \right)}}{\sqrt{y^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

yatan⁡(xy2+1)y2+1+constant\frac{y \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2} + 1}} \right)}}{\sqrt{y^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                              /     x     \
                        y*atan|-----------|
  /                           |   ________|
 |                            |  /      2 |
 |      y                     \\/  1 + y  /
 | ----------- dx = C + -------------------
 |      2    2                 ________    
 | 1 + x  + y                 /      2     
 |                          \/  1 + y      
/
∫yy2+(x2+1) dx=C+yatan⁡(xy2+1)y2+1\int \frac{y}{y^{2} + \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = C + \frac{y \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2} + 1}} \right)}}{\sqrt{y^{2} + 1}}
Simplificar
Respuesta [src] 
  /     ________    /         ________           ________\        ________    /         ________           ________\\     /     ________    /     ________           ________\        ________    /       ________           ________\\
  |    /  -1        |        /  -1        2     /  -1    |       /  -1        |        /  -1        2     /  -1    ||     |    /  -1        |    /  -1        2     /  -1    |       /  -1        |      /  -1        2     /  -1    ||
  |   /  ------ *log|1 +    /  ------  + y *   /  ------ |      /  ------ *log|1 -    /  ------  - y *   /  ------ ||     |   /  ------ *log|   /  ------  + y *   /  ------ |      /  ------ *log|-    /  ------  - y *   /  ------ ||
  |  /        2     |      /        2         /        2 |     /        2     |      /        2         /        2 ||     |  /        2     |  /        2         /        2 |     /        2     |    /        2         /        2 ||
  |\/    1 + y      \    \/    1 + y        \/    1 + y  /   \/    1 + y      \    \/    1 + y        \/    1 + y  /|     |\/    1 + y      \\/    1 + y        \/    1 + y  /   \/    1 + y      \  \/    1 + y        \/    1 + y  /|
y*|------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------| - y*|--------------------------------------------------- - -----------------------------------------------------|
  \                           2                                                         2                           /     \                         2                                                      2                          /
−y(−−1y2+1log⁡(−y2−1y2+1−−1y2+1)2+−1y2+1log⁡(y2−1y2+1+−1y2+1)2)+y(−−1y2+1log⁡(−y2−1y2+1−−1y2+1+1)2+−1y2+1log⁡(y2−1y2+1+−1y2+1+1)2)- y \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(- y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} - \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \right)}}{2}\right) + y \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(- y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} - \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + 1 \right)}}{2}\right) 
=
= 
  /     ________    /         ________           ________\        ________    /         ________           ________\\     /     ________    /     ________           ________\        ________    /       ________           ________\\
  |    /  -1        |        /  -1        2     /  -1    |       /  -1        |        /  -1        2     /  -1    ||     |    /  -1        |    /  -1        2     /  -1    |       /  -1        |      /  -1        2     /  -1    ||
  |   /  ------ *log|1 +    /  ------  + y *   /  ------ |      /  ------ *log|1 -    /  ------  - y *   /  ------ ||     |   /  ------ *log|   /  ------  + y *   /  ------ |      /  ------ *log|-    /  ------  - y *   /  ------ ||
  |  /        2     |      /        2         /        2 |     /        2     |      /        2         /        2 ||     |  /        2     |  /        2         /        2 |     /        2     |    /        2         /        2 ||
  |\/    1 + y      \    \/    1 + y        \/    1 + y  /   \/    1 + y      \    \/    1 + y        \/    1 + y  /|     |\/    1 + y      \\/    1 + y        \/    1 + y  /   \/    1 + y      \  \/    1 + y        \/    1 + y  /|
y*|------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------| - y*|--------------------------------------------------- - -----------------------------------------------------|
  \                           2                                                         2                           /     \                         2                                                      2                          /
−y(−−1y2+1log⁡(−y2−1y2+1−−1y2+1)2+−1y2+1log⁡(y2−1y2+1+−1y2+1)2)+y(−−1y2+1log⁡(−y2−1y2+1−−1y2+1+1)2+−1y2+1log⁡(y2−1y2+1+−1y2+1+1)2)- y \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(- y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} - \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \right)}}{2}\right) + y \left(- \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(- y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} - \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} \log{\left(y^{2} \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + \sqrt{- \frac{1}{y^{2} + 1}} + 1 \right)}}{2}\right) 
y*(sqrt(-1/(1 + y^2))*log(1 + sqrt(-1/(1 + y^2)) + y^2*sqrt(-1/(1 + y^2)))/2 - sqrt(-1/(1 + y^2))*log(1 - sqrt(-1/(1 + y^2)) - y^2*sqrt(-1/(1 + y^2)))/2) - y*(sqrt(-1/(1 + y^2))*log(sqrt(-1/(1 + y^2)) + y^2*sqrt(-1/(1 + y^2)))/2 - sqrt(-1/(1 + y^2))*log(-sqrt(-1/(1 + y^2)) - y^2*sqrt(-1/(1 + y^2)))/2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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