Integral de (x-2)((x^2)-4x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} - 4 x\right) + 5$.

      Luego que $du = \left(2 x - 4\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 5\right)^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 5\right) = x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 10$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x^{2}\right)\, dx = - 6 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 x\, dx = 13 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{13 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-10\right)\, dx = - 10 x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + \frac{13 x^{2}}{2} - 10 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$