Integral de (x-2*x^(2/3))/(3x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{- u^{\frac{3}{2}} + 2 u}{2 u^{\frac{5}{2}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- u^{\frac{3}{2}} + 2 u}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = - \frac{\int \frac{- u^{\frac{3}{2}} + 2 u}{u^{\frac{5}{2}}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{- u^{\frac{3}{2}} + 2 u}{u^{\frac{5}{2}}} = - \frac{1}{u} + \frac{2}{u^{\frac{3}{2}}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{\sqrt{u}}$

            El resultado es: $- \log{\left(u \right)} - \frac{4}{\sqrt{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2} + \frac{2}{\sqrt{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x^{\frac{2}{3}} \right)}}{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 2 x^{\frac{2}{3}} + x}{3 x^{2}} = \frac{1}{3 x} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\, dx = - \frac{3}{\sqrt[3]{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)}}{3} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}+ \mathrm{constant}$