Integral de cos(x)*cos(8*x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(8 x \right)} = 128 \cos^{9}{\left(x \right)} - 256 \cos^{7}{\left(x \right)} + 160 \cos^{5}{\left(x \right)} - 32 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 128 \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = 128 \int \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{512 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{768 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{512 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 128 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 256 \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 256 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{768 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 256 \sin^{3}{\left(x \right)} - 256 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 160 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 160 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $32 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{320 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 160 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 32 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

      2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 32 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{256 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 32 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{32 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(896 \sin^{8}{\left(x \right)} - 2304 \sin^{6}{\left(x \right)} + 2016 \sin^{4}{\left(x \right)} - 672 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin{\left(x \right)}}{63}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(896 \sin^{8}{\left(x \right)} - 2304 \sin^{6}{\left(x \right)} + 2016 \sin^{4}{\left(x \right)} - 672 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin{\left(x \right)}}{63}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(896 \sin^{8}{\left(x \right)} - 2304 \sin^{6}{\left(x \right)} + 2016 \sin^{4}{\left(x \right)} - 672 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin{\left(x \right)}}{63}+ \mathrm{constant}$