Integral de (2x+5)/((x-4)^2(x+1)x)^(-3) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{2 x + 5}{\frac{1}{x^{3} \left(x - 4\right)^{6} \left(x + 1\right)^{3}}} = 2 x^{13} - 37 x^{12} + 237 x^{11} - 407 x^{10} - 1763 x^{9} + 7032 x^{8} + 688 x^{7} - 25088 x^{6} + 768 x^{5} + 38912 x^{4} + 20480 x^{3}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x^{13}\, dx = 2 \int x^{13}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{14}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 37 x^{12}\right)\, dx = - 37 \int x^{12}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{37 x^{13}}{13}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 237 x^{11}\, dx = 237 \int x^{11}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{79 x^{12}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 407 x^{10}\right)\, dx = - 407 \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 37 x^{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 1763 x^{9}\right)\, dx = - 1763 \int x^{9}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1763 x^{10}}{10}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 7032 x^{8}\, dx = 7032 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2344 x^{9}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 688 x^{7}\, dx = 688 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $86 x^{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 25088 x^{6}\right)\, dx = - 25088 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3584 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 768 x^{5}\, dx = 768 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $128 x^{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 38912 x^{4}\, dx = 38912 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{38912 x^{5}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 20480 x^{3}\, dx = 20480 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5120 x^{4}$

   El resultado es: $\frac{x^{14}}{7} - \frac{37 x^{13}}{13} + \frac{79 x^{12}}{4} - 37 x^{11} - \frac{1763 x^{10}}{10} + \frac{2344 x^{9}}{3} + 86 x^{8} - 3584 x^{7} + 128 x^{6} + \frac{38912 x^{5}}{5} + 5120 x^{4}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(780 x^{10} - 15540 x^{9} + 107835 x^{8} - 202020 x^{7} - 962598 x^{6} + 4266080 x^{5} + 469560 x^{4} - 19568640 x^{3} + 698880 x^{2} + 42491904 x + 27955200\right)}{5460}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(780 x^{10} - 15540 x^{9} + 107835 x^{8} - 202020 x^{7} - 962598 x^{6} + 4266080 x^{5} + 469560 x^{4} - 19568640 x^{3} + 698880 x^{2} + 42491904 x + 27955200\right)}{5460}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(780 x^{10} - 15540 x^{9} + 107835 x^{8} - 202020 x^{7} - 962598 x^{6} + 4266080 x^{5} + 469560 x^{4} - 19568640 x^{3} + 698880 x^{2} + 42491904 x + 27955200\right)}{5460}+ \mathrm{constant}$