Integral de ln(x+y) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + y$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x - y + \left(x + y\right) \log{\left(x + y \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + y \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + y}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{x + y} = - \frac{y}{x + y} + 1$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{y}{x + y}\right)\, dx = - y \int \frac{1}{x + y}\, dx$

         1. que $u = x + y$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + y \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- y \log{\left(x + y \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $x - y \log{\left(x + y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x - y + \left(x + y\right) \log{\left(x + y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x - y + \left(x + y\right) \log{\left(x + y \right)}+ \mathrm{constant}$