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Integral de dx/(x(x+2)(x+4)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  ----------------- dx
 |  x*(x + 2)*(x + 4)   
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111x(x+2)(x+4)dx\int\limits_{1}^{1} \frac{1}{x \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}\, dx
Integral(1/((x*(x + 2))*(x + 4)), (x, 1, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+2)(x+4)=18(x+4)14(x+2)+18x\frac{1}{x \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)} = \frac{1}{8 \left(x + 4\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{8 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        18(x+4)dx=1x+4dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 4}\, dx}{8}

        1. que u=x+4u = x + 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+4)8\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (14(x+2))dx=1x+2dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{4}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+2)4- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        18xdx=1xdx8\int \frac{1}{8 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{8}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log(x)8\frac{\log{\left(x \right)}}{8}

      El resultado es: log(x)8log(x+2)4+log(x+4)8\frac{\log{\left(x \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+2)(x+4)=1x3+6x2+8x\frac{1}{x \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)} = \frac{1}{x^{3} + 6 x^{2} + 8 x}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3+6x2+8x=18(x+4)14(x+2)+18x\frac{1}{x^{3} + 6 x^{2} + 8 x} = \frac{1}{8 \left(x + 4\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{8 x}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        18(x+4)dx=1x+4dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 4}\, dx}{8}

        1. que u=x+4u = x + 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+4)8\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (14(x+2))dx=1x+2dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{4}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+2)4- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        18xdx=1xdx8\int \frac{1}{8 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{8}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log(x)8\frac{\log{\left(x \right)}}{8}

      El resultado es: log(x)8log(x+2)4+log(x+4)8\frac{\log{\left(x \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+2)(x+4)=1x3+6x2+8x\frac{1}{x \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)} = \frac{1}{x^{3} + 6 x^{2} + 8 x}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3+6x2+8x=18(x+4)14(x+2)+18x\frac{1}{x^{3} + 6 x^{2} + 8 x} = \frac{1}{8 \left(x + 4\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{8 x}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        18(x+4)dx=1x+4dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 4}\, dx}{8}

        1. que u=x+4u = x + 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+4)\log{\left(x + 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+4)8\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (14(x+2))dx=1x+2dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{4}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+2)4- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        18xdx=1xdx8\int \frac{1}{8 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{8}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log(x)8\frac{\log{\left(x \right)}}{8}

      El resultado es: log(x)8log(x+2)4+log(x+4)8\frac{\log{\left(x \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log(x)8log(x+2)4+log(x+4)8+constant\frac{\log{\left(x \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(x)8log(x+2)4+log(x+4)8+constant\frac{\log{\left(x \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |         1                  log(2 + x)   log(x)   log(4 + x)
 | ----------------- dx = C - ---------- + ------ + ----------
 | x*(x + 2)*(x + 4)              4          8          8     
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1x(x+2)(x+4)dx=C+log(x)8log(x+2)4+log(x+4)8\int \frac{1}{x \left(x + 2\right) \left(x + 4\right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{8}
Gráfica
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00900.2-0.2
Respuesta [src]
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Respuesta numérica [src]
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    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.