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Resolución de integrales/ cos2x/ sin3x/ x+sinx/ cosxcos2x+sinxsin3x

Integral de cosxcos2x+sinxsin3x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |  (cos(x)*cos(2*x) + sin(x)*sin(3*x)) dx
 |                                        
/                                         
0
∫01(sin⁡(x)sin⁡(3x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(cos(x)*cos(2*x) + sin(x)*sin(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)sin⁡(3x)=−4sin⁡4(x)+3sin⁡2(x)\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} = - 4 \sin^{4}{\left(x \right)} + 3 \sin^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡4(x)) dx=−4∫sin⁡4(x) dx\int \left(- 4 \sin^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡4(x)=(12−cos⁡(2x)2)2\sin^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (12−cos⁡(2x)2)2=cos⁡2(2x)4−cos⁡(2x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                  1. que u=4xu = 4 x.

                    Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                    ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

            El resultado es: 3x8−sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (12−cos⁡(2x)2)2=cos⁡2(2x)4−cos⁡(2x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                  1. que u=4xu = 4 x.

                    Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                    ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

            El resultado es: 3x8−sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x2+sin⁡(2x)−sin⁡(4x)8- \frac{3 x}{2} + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡2(x) dx=3∫sin⁡2(x) dx\int 3 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2−3sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(x)cos⁡(2x)=2cos⁡3(x)−cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡3(x) dx=2∫cos⁡3(x) dx\int 2 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u2 du\int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            El resultado es: −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

          Método #3

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u2 du\int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

            El resultado es: −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3+2sin⁡(x)- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: −2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

    El resultado es: −2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)+sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

  2. Ahora simplificar:

    sin⁡3(x)cos⁡(x)−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡3(x)cos⁡(x)−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)+constant\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡3(x)cos⁡(x)−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)+constant\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  3                                  
 |                                              2*sin (x)   sin(4*x)   sin(2*x)         
 | (cos(x)*cos(2*x) + sin(x)*sin(3*x)) dx = C - --------- - -------- + -------- + sin(x)
 |                                                  3          8          4             
/
∫(sin⁡(x)sin⁡(3x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)) dx=C−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)+sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8\int \left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  3*cos(3)*sin(1)   cos(2)*sin(1)   cos(1)*sin(3)   2*cos(1)*sin(2)
- --------------- - ------------- + ------------- + ---------------
         8                3               8                3
sin⁡(3)cos⁡(1)8−sin⁡(1)cos⁡(2)3−3sin⁡(1)cos⁡(3)8+2sin⁡(2)cos⁡(1)3\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{3} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8} + \frac{2 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} 
=
= 
  3*cos(3)*sin(1)   cos(2)*sin(1)   cos(1)*sin(3)   2*cos(1)*sin(2)
- --------------- - ------------- + ------------- + ---------------
         8                3               8                3
sin⁡(3)cos⁡(1)8−sin⁡(1)cos⁡(2)3−3sin⁡(1)cos⁡(3)8+2sin⁡(2)cos⁡(1)3\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{3} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8} + \frac{2 \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} 
-3*cos(3)*sin(1)/8 - cos(2)*sin(1)/3 + cos(1)*sin(3)/8 + 2*cos(1)*sin(2)/3
Respuesta numérica [src] 
0.766180162367171
0.766180162367171

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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