Integral de 4(2-x)(2+x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{2} - 16 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 16 u\right)\, du = - 16 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 8 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3} - 8 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \left(2 - x\right)^{3}}{3} - 8 \left(2 - x\right)^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $4 \left(2 - x\right) \left(x + 2\right) = 16 - 4 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3} + 16 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{4 x^{3}}{3} + 16 x - \frac{64}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 x^{3}}{3} + 16 x - \frac{64}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 16 x - \frac{64}{3}+ \mathrm{constant}$