Integral de (1-x^2)*(5x+3)/3*cbrtx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 5 u^{12} - 3 u^{9} + 5 u^{6} + 3 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 u^{12}\right)\, du = - 5 \int u^{12}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{13}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{9}\right)\, du = - 3 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{10}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 u^{6}\, du = 5 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{4}$

         El resultado es: $- \frac{5 u^{13}}{13} - \frac{3 u^{10}}{10} + \frac{5 u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{5 x^{\frac{13}{3}}}{13} - \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{5 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[3]{x} \frac{\left(1 - x^{2}\right) \left(5 x + 3\right)}{3} = - \frac{5 x^{\frac{10}{3}}}{3} - x^{\frac{7}{3}} + \frac{5 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \sqrt[3]{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 x^{\frac{10}{3}}}{3}\right)\, dx = - \frac{5 \int x^{\frac{10}{3}}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{10}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{13}{3}}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{\frac{13}{3}}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{7}{3}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{7}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{7}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{\frac{4}{3}}}{3}\, dx = \frac{5 \int x^{\frac{4}{3}}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{4}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{5 x^{\frac{13}{3}}}{13} - \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{5 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{\frac{4}{3}} \left(- 700 x^{3} - 546 x^{2} + 1300 x + 1365\right)}{1820}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{\frac{4}{3}} \left(- 700 x^{3} - 546 x^{2} + 1300 x + 1365\right)}{1820}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \left(- 700 x^{3} - 546 x^{2} + 1300 x + 1365\right)}{1820}+ \mathrm{constant}$