Integral de (ln*(1+√x))/√x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u e^{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \sqrt{x} + 2 \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} - 2$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \sqrt{x} + 2 \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} - 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \sqrt{x} + 2 \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} - 2+ \mathrm{constant}$