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Resolución de integrales/ sin(y)/ (x*sin(y)+2)*y

Integral de (x*sin(y)+2)*y dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                    
  /                    
 |                     
 |  (x*sin(y) + 2)*y dy
 |                     
/                      
0
∫02y(xsin⁡(y)+2) dy\int\limits_{0}^{2} y \left(x \sin{\left(y \right)} + 2\right)\, dy 
Integral((x*sin(y) + 2)*y, (y, 0, 2))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    y(xsin⁡(y)+2)=xysin⁡(y)+2yy \left(x \sin{\left(y \right)} + 2\right) = x y \sin{\left(y \right)} + 2 y

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xysin⁡(y) dy=x∫ysin⁡(y) dy\int x y \sin{\left(y \right)}\, dy = x \int y \sin{\left(y \right)}\, dy

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(y)=yu{\left(y \right)} = y y que dv⁡(y)=sin⁡(y)\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}.

        Entonces du⁡(y)=1\operatorname{du}{\left(y \right)} = 1.

        Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(y) dy=−cos⁡(y)\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(y)) dy=−∫cos⁡(y) dy\int \left(- \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int \cos{\left(y \right)}\, dy

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(y) dy=sin⁡(y)\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(y)- \sin{\left(y \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x(−ycos⁡(y)+sin⁡(y))x \left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right)

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2y dy=2∫y dy\int 2 y\, dy = 2 \int y\, dy

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: y2y^{2}

    El resultado es: x(−ycos⁡(y)+sin⁡(y))+y2x \left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}

  3. Ahora simplificar:

    −x(ycos⁡(y)−sin⁡(y))+y2- x \left(y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −x(ycos⁡(y)−sin⁡(y))+y2+constant- x \left(y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x(ycos⁡(y)−sin⁡(y))+y2+constant- x \left(y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     
 |                            2                         
 | (x*sin(y) + 2)*y dy = C + y  + x*(-y*cos(y) + sin(y))
 |                                                      
/
∫y(xsin⁡(y)+2) dy=C+x(−ycos⁡(y)+sin⁡(y))+y2\int y \left(x \sin{\left(y \right)} + 2\right)\, dy = C + x \left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
4 + x*sin(2) - 2*x*cos(2)
−2xcos⁡(2)+xsin⁡(2)+4- 2 x \cos{\left(2 \right)} + x \sin{\left(2 \right)} + 4 
=
= 
4 + x*sin(2) - 2*x*cos(2)
−2xcos⁡(2)+xsin⁡(2)+4- 2 x \cos{\left(2 \right)} + x \sin{\left(2 \right)} + 4 
4 + x*sin(2) - 2*x*cos(2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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