Integral de (x*sin(y)+2)*y dy

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $y \left(x \sin{\left(y \right)} + 2\right) = x y \sin{\left(y \right)} + 2 y$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int x y \sin{\left(y \right)}\, dy = x \int y \sin{\left(y \right)}\, dy$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = y$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int \cos{\left(y \right)}\, dy$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(y \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x \left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right)$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 y\, dy = 2 \int y\, dy$

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $y^{2}$

   El resultado es: $x \left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}$

3. Ahora simplificar:

   $- x \left(y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- x \left(y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x \left(y \cos{\left(y \right)} - \sin{\left(y \right)}\right) + y^{2}+ \mathrm{constant}$