Integral de 3x-x^2-2/x(x+1)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2}{x} \left(x + 1\right)^{2}\right)\, dx = - \int \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 2\, dx = 2 x$

               1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + \log{\left(x \right)}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x} = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x}$

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}$

            3. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 2\, dx = 2 x$

               1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + \log{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} + 4 x + 2 \log{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2} - 4 x - 2 \log{\left(x \right)}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4 x - 2 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4 x - 2 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4 x - 2 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$