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Resolución de integrales/ sin(x)/ (sin(x)+1)^2

Integral de (sin(x)+1)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
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 |                  
 |              2   
 |  (sin(x) + 1)  dx
 |                  
/                   
0
∫01(sin⁡(x)+1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}\, dx 
Integral((sin(x) + 1)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+1)2=sin⁡2(x)+2sin⁡(x)+1\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x) dx=2∫sin⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(x)- 2 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 3x2−sin⁡(2x)4−2cos⁡(x)\frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - 2 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+1)2=sin⁡2(x)+2sin⁡(x)+1\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x) dx=2∫sin⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(x)- 2 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 3x2−sin⁡(2x)4−2cos⁡(x)\frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - 2 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x2−sin⁡(2x)4−2cos⁡(x)+constant\frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x2−sin⁡(2x)4−2cos⁡(x)+constant\frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |             2                     sin(2*x)   3*x
 | (sin(x) + 1)  dx = C - 2*cos(x) - -------- + ---
 |                                      4        2 
/
∫(sin⁡(x)+1)2 dx=C+3x2−sin⁡(2x)4−2cos⁡(x)\int \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}\, dx = C + \frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - 2 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2         2                              
    cos (1)   sin (1)              cos(1)*sin(1)
3 + ------- + ------- - 2*cos(1) - -------------
       2         2                       2
−2cos⁡(1)−sin⁡(1)cos⁡(1)2+cos⁡2(1)2+sin⁡2(1)2+3- 2 \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 3 
=
= 
       2         2                              
    cos (1)   sin (1)              cos(1)*sin(1)
3 + ------- + ------- - 2*cos(1) - -------------
       2         2                       2
−2cos⁡(1)−sin⁡(1)cos⁡(1)2+cos⁡2(1)2+sin⁡2(1)2+3- 2 \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 3 
3 + cos(1)^2/2 + sin(1)^2/2 - 2*cos(1) - cos(1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
2.1920710315573
2.1920710315573

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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