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Resolución de integrales/ sin^6/ sin^6(4x)

Integral de sin^6(4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
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 |              
 |     6        
 |  sin (4*x) dx
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/               
0
∫01sin⁡6(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{6}{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral(sin(4*x)^6, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡6(4x)=(12−cos⁡(8x)2)3\sin^{6}{\left(4 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{3}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(8x)2)3=−cos⁡3(8x)8+3cos⁡2(8x)8−3cos⁡(8x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(8x)8) dx=−∫cos⁡3(8x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(8 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(8x)=(1−sin⁡2(8x))cos⁡(8x)\cos^{3}{\left(8 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}\right) \cos{\left(8 x \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=sin⁡(8x)u = \sin{\left(8 x \right)}.

            Luego que du=8cos⁡(8x)dxdu = 8 \cos{\left(8 x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫(18−u28) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{u^{2}}{8}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u28) du=−∫u2 du8\int \left(- \frac{u^{2}}{8}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{8}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u324- \frac{u^{3}}{24}

              El resultado es: −u324+u8- \frac{u^{3}}{24} + \frac{u}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(8x)24+sin⁡(8x)8- \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(8x))cos⁡(8x)=−sin⁡2(8x)cos⁡(8x)+cos⁡(8x)\left(1 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}\right) \cos{\left(8 x \right)} = - \sin^{2}{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(8x)cos⁡(8x)) dx=−∫sin⁡2(8x)cos⁡(8x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(8x)u = \sin{\left(8 x \right)}.

                Luego que du=8cos⁡(8x)dxdu = 8 \cos{\left(8 x \right)} dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                ∫u28 du\int \frac{u^{2}}{8}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du8\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{8}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u324\frac{u^{3}}{24}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(8x)24\frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(8x)24- \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            El resultado es: −sin⁡3(8x)24+sin⁡(8x)8- \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

          Método #3

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(8x))cos⁡(8x)=−sin⁡2(8x)cos⁡(8x)+cos⁡(8x)\left(1 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}\right) \cos{\left(8 x \right)} = - \sin^{2}{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(8x)cos⁡(8x)) dx=−∫sin⁡2(8x)cos⁡(8x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(8x)u = \sin{\left(8 x \right)}.

                Luego que du=8cos⁡(8x)dxdu = 8 \cos{\left(8 x \right)} dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                ∫u28 du\int \frac{u^{2}}{8}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du8\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{8}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u324\frac{u^{3}}{24}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(8x)24\frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(8x)24- \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            El resultado es: −sin⁡3(8x)24+sin⁡(8x)8- \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(8x)192−sin⁡(8x)64\frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(8x)8 dx=3∫cos⁡2(8x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(8x)=cos⁡(16x)2+12\cos^{2}{\left(8 x \right)} = \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(16x)2 dx=∫cos⁡(16x) dx2\int \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(16 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=16xu = 16 x.

              Luego que du=16dxdu = 16 dx y ponemos du16\frac{du}{16}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du16\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)16\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(16x)16\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(16x)32\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(16x)32\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(16x)256\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(16 x \right)}}{256}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(8x)8) dx=−3∫cos⁡(8x) dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(8 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=8xu = 8 x.

          Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

          ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(8x)64- \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{64}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: 5x16+sin⁡3(8x)192−sin⁡(8x)16+3sin⁡(16x)256\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{3 \sin{\left(16 x \right)}}{256}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(8x)2)3=−cos⁡3(8x)8+3cos⁡2(8x)8−3cos⁡(8x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(8 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(8x)8) dx=−∫cos⁡3(8x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(8 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(8x)=(1−sin⁡2(8x))cos⁡(8x)\cos^{3}{\left(8 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(8 x \right)}\right) \cos{\left(8 x \right)}

        2. que u=sin⁡(8x)u = \sin{\left(8 x \right)}.

          Luego que du=8cos⁡(8x)dxdu = 8 \cos{\left(8 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(18−u28) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{u^{2}}{8}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u28) du=−∫u2 du8\int \left(- \frac{u^{2}}{8}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{8}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u324- \frac{u^{3}}{24}

            El resultado es: −u324+u8- \frac{u^{3}}{24} + \frac{u}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(8x)24+sin⁡(8x)8- \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(8x)192−sin⁡(8x)64\frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(8x)8 dx=3∫cos⁡2(8x) dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(8x)=cos⁡(16x)2+12\cos^{2}{\left(8 x \right)} = \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(16x)2 dx=∫cos⁡(16x) dx2\int \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(16 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=16xu = 16 x.

              Luego que du=16dxdu = 16 dx y ponemos du16\frac{du}{16}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du16\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)16\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(16x)16\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(16x)32\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(16x)32\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin⁡(16x)256\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(16 x \right)}}{256}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(8x)8) dx=−3∫cos⁡(8x) dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(8 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=8xu = 8 x.

          Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

          ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(8x)64- \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{64}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: 5x16+sin⁡3(8x)192−sin⁡(8x)16+3sin⁡(16x)256\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{3 \sin{\left(16 x \right)}}{256}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5x16+sin⁡3(8x)192−sin⁡(8x)16+3sin⁡(16x)256+constant\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{3 \sin{\left(16 x \right)}}{256}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5x16+sin⁡3(8x)192−sin⁡(8x)16+3sin⁡(16x)256+constant\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{3 \sin{\left(16 x \right)}}{256}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                  3                         
 |    6               sin(8*x)   sin (8*x)   3*sin(16*x)   5*x
 | sin (4*x) dx = C - -------- + --------- + ----------- + ---
 |                       16         192          256        16
/
∫sin⁡6(4x) dx=C+5x16+sin⁡3(8x)192−sin⁡(8x)16+3sin⁡(16x)256\int \sin^{6}{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(8 x \right)}}{192} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{3 \sin{\left(16 x \right)}}{256}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                            3                5          
5    5*cos(4)*sin(4)   5*sin (4)*cos(4)   sin (4)*cos(4)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16          64                96                24
−5sin⁡(4)cos⁡(4)64−5sin⁡3(4)cos⁡(4)96−sin⁡5(4)cos⁡(4)24+516- \frac{5 \sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{64} - \frac{5 \sin^{3}{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{96} - \frac{\sin^{5}{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{24} + \frac{5}{16} 
=
= 
                            3                5          
5    5*cos(4)*sin(4)   5*sin (4)*cos(4)   sin (4)*cos(4)
-- - --------------- - ---------------- - --------------
16          64                96                24
−5sin⁡(4)cos⁡(4)64−5sin⁡3(4)cos⁡(4)96−sin⁡5(4)cos⁡(4)24+516- \frac{5 \sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{64} - \frac{5 \sin^{3}{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{96} - \frac{\sin^{5}{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{24} + \frac{5}{16} 
5/16 - 5*cos(4)*sin(4)/64 - 5*sin(4)^3*cos(4)/96 - sin(4)^5*cos(4)/24
Respuesta numérica [src] 
0.252335061736939
0.252335061736939

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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