Integral de sin8xcos5x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(8 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = - 2048 \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 2560 \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 640 \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 3072 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 3840 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 960 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 1280 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 1600 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 400 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 128 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 160 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2048 \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2048 \int \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{12} - 3 u^{10} + 3 u^{8} - u^{6}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 3 u^{10}\right)\, du = - 3 \int u^{10}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{11}}{11}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 3 u^{8}\, du = 3 \int u^{8}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               El resultado es: $\frac{u^{13}}{13} - \frac{3 u^{11}}{11} + \frac{u^{9}}{3} - \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{3 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{12}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{13}}{13}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{10}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{11}}{11}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{3}$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            El resultado es: $\frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{3 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{12}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{13}}{13}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{10}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{11}}{11}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{3}$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            El resultado es: $\frac{\cos^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{3 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2048 \cos^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{6144 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{2048 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{2048 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2560 \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2560 \int \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{10} - 3 u^{8} + 3 u^{6} - u^{4}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 u^{8}\right)\, du = - 3 \int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 u^{6}\, du = 3 \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            El resultado es: $\frac{u^{11}}{11} - \frac{u^{9}}{3} + \frac{3 u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{3 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2560 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{2560 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{7680 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 512 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 640 \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 640 \int \sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{7}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{8} - 3 u^{6} + 3 u^{4} - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 u^{6}\right)\, du = - 3 \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 u^{4}\, du = 3 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{3 u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{3 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{640 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{1920 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 384 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{640 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3072 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 3072 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- u^{10} + 2 u^{8} - u^{6}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{10}\right)\, du = - \int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{11}}{11}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{8}\, du = 2 \int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{9}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            El resultado es: $- \frac{u^{11}}{11} + \frac{2 u^{9}}{9} - \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{2 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3072 \cos^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{2048 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{3072 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3840 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3840 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- u^{8} + 2 u^{6} - u^{4}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{6}\, du = 2 \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            El resultado es: $- \frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1280 \cos^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{7680 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 768 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 960 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 960 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{960 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 384 \cos^{5}{\left(x \right)} - 320 \cos^{3}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 1280 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1280 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{8} - u^{6}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1280 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{1280 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1600 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 1600 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1600 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 320 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 400 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 400 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 80 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{400 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 128 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 128 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 160 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 160 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $32 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 40 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{40 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   El resultado es: $- \frac{2048 \cos^{13}{\left(x \right)}}{13} + 512 \cos^{11}{\left(x \right)} - 640 \cos^{9}{\left(x \right)} + 384 \cos^{7}{\left(x \right)} - 112 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{40 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{8 \left(- 768 \cos^{10}{\left(x \right)} + 2496 \cos^{8}{\left(x \right)} - 3120 \cos^{6}{\left(x \right)} + 1872 \cos^{4}{\left(x \right)} - 546 \cos^{2}{\left(x \right)} + 65\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{39}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 \left(- 768 \cos^{10}{\left(x \right)} + 2496 \cos^{8}{\left(x \right)} - 3120 \cos^{6}{\left(x \right)} + 1872 \cos^{4}{\left(x \right)} - 546 \cos^{2}{\left(x \right)} + 65\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{39}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 \left(- 768 \cos^{10}{\left(x \right)} + 2496 \cos^{8}{\left(x \right)} - 3120 \cos^{6}{\left(x \right)} + 1872 \cos^{4}{\left(x \right)} - 546 \cos^{2}{\left(x \right)} + 65\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{39}+ \mathrm{constant}$