Integral de 1/(2-x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx$

      1. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 - x\right)^{3}} = - \frac{1}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}$

      2. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 - x\right)^{3}} = \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8} = - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx$

      1. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$