Integral de xarctan(2x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{2}}{4 x^{2} + 1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \left(4 x^{2} + 1\right)}$

3. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{4 \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{4 x^{2} + 1}\, dx}{4}$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=4, c=1, context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=4, c=1, context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=4, c=1, context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8}$

   El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{x}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{x}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$