Integral de (4x+5)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x + 5$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{8}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{36}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x + 5\right)^{9}}{36}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 x + 5\right)^{8} = 65536 x^{8} + 655360 x^{7} + 2867200 x^{6} + 7168000 x^{5} + 11200000 x^{4} + 11200000 x^{3} + 7000000 x^{2} + 2500000 x + 390625$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 65536 x^{8}\, dx = 65536 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{65536 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 655360 x^{7}\, dx = 655360 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $81920 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2867200 x^{6}\, dx = 2867200 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $409600 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7168000 x^{5}\, dx = 7168000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3584000 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11200000 x^{4}\, dx = 11200000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2240000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11200000 x^{3}\, dx = 11200000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2800000 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7000000 x^{2}\, dx = 7000000 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7000000 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2500000 x\, dx = 2500000 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1250000 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 390625\, dx = 390625 x$

      El resultado es: $\frac{65536 x^{9}}{9} + 81920 x^{8} + 409600 x^{7} + \frac{3584000 x^{6}}{3} + 2240000 x^{5} + 2800000 x^{4} + \frac{7000000 x^{3}}{3} + 1250000 x^{2} + 390625 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x + 5\right)^{9}}{36}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x + 5\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x + 5\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$