Integral de ln(t)^3 dt

Solución

Ha introducido [src]

  x           
  /           
 |            
 |     3      
 |  log (t) dt
 |            
/             
2

$$\int\limits_{2}^{x} \log{\left(t \right)}^{3}\, dt$$

Integral(log(t)^3, (t, 2, x))

Solución detallada

que $u = \log{\left(t \right)}$ .

Luego que $du = \frac{dt}{t}$ y ponemos $du$ :

$\int u^{3} e^{u}\, du$
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ .
  
  Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
  1. La integral de la función exponencial es la mesma.
    
    $\int e^{u}\, du = e^{u}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$ .
  
  Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
  1. La integral de la función exponencial es la mesma.
    
    $\int e^{u}\, du = e^{u}$
  Ahora resolvemos podintegral.
3. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$ .
  
  Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
  1. La integral de la función exponencial es la mesma.
    
    $\int e^{u}\, du = e^{u}$
  Ahora resolvemos podintegral.
4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$
  1. La integral de la función exponencial es la mesma.
    
    $\int e^{u}\, du = e^{u}$
  Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$
Si ahora sustituir $u$ más en:

$t \log{\left(t \right)}^{3} - 3 t \log{\left(t \right)}^{2} + 6 t \log{\left(t \right)} - 6 t$
Ahora simplificar:

$t \left(\log{\left(t \right)}^{3} - 3 \log{\left(t \right)}^{2} + 6 \log{\left(t \right)} - 6\right)$
Añadimos la constante de integración:

$t \left(\log{\left(t \right)}^{3} - 3 \log{\left(t \right)}^{2} + 6 \log{\left(t \right)} - 6\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$t \left(\log{\left(t \right)}^{3} - 3 \log{\left(t \right)}^{2} + 6 \log{\left(t \right)} - 6\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                           
 |                                                            
 |    3                        3             2                
 | log (t) dt = C - 6*t + t*log (t) - 3*t*log (t) + 6*t*log(t)
 |                                                            
/

$$\int \log{\left(t \right)}^{3}\, dt = C + t \log{\left(t \right)}^{3} - 3 t \log{\left(t \right)}^{2} + 6 t \log{\left(t \right)} - 6 t$$

Simplificar

Respuesta [src]

                            3           2           3             2                
12 - 12*log(2) - 6*x - 2*log (2) + 6*log (2) + x*log (x) - 3*x*log (x) + 6*x*log(x)

$$x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x - 12 \log{\left(2 \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)}^{2} + 12$$

                            3           2           3             2                
12 - 12*log(2) - 6*x - 2*log (2) + 6*log (2) + x*log (x) - 3*x*log (x) + 6*x*log(x)

$$x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x - 12 \log{\left(2 \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)}^{2} + 12$$

12 - 12*log(2) - 6*x - 2*log(2)^3 + 6*log(2)^2 + x*log(x)^3 - 3*x*log(x)^2 + 6*x*log(x)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de ln(t)^3 dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución