Integral de x^2⋅arctan(x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\, dx}{3}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{2 u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = x - \frac{x}{x^{2} + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = x^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$