Integral de (sin2x+cosx/2+tg2x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Método #2

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Método #2

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

   2. que $u = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$