Integral de (2+sqrtx)^3/sqrtx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x} + 2$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u^{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\sqrt{x} + 2\right)^{4}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} + 2\right)^{3}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{3}{2}} + 12 \sqrt{x} + 6 x + 8}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{16 u^{3} + 24 u^{2} + 12 u + 2}{u^{5}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16 u^{3} + 24 u^{2} + 12 u + 2}{u^{5}}\, du = - \int \frac{16 u^{3} + 24 u^{2} + 12 u + 2}{u^{5}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{16 u^{3} + 24 u^{2} + 12 u + 2}{u^{5}} = \frac{16}{u^{2}} + \frac{24}{u^{3}} + \frac{12}{u^{4}} + \frac{2}{u^{5}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{16}{u^{2}}\, du = 16 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{24}{u^{3}}\, du = 24 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{12}{u^{4}}\, du = 12 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{u^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{5}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{2 u^{4}}$

            El resultado es: $- \frac{16}{u} - \frac{12}{u^{2}} - \frac{4}{u^{3}} - \frac{1}{2 u^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16}{u} + \frac{12}{u^{2}} + \frac{4}{u^{3}} + \frac{1}{2 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $4 x^{\frac{3}{2}} + 16 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{2} + 12 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} + 2\right)^{3}}{\sqrt{x}} = 6 \sqrt{x} + x + 12 + \frac{8}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 \sqrt{x}\, dx = 6 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{\frac{3}{2}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 12\, dx = 12 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{\sqrt{x}}\, dx = 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16 \sqrt{x}$

      El resultado es: $4 x^{\frac{3}{2}} + 16 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{2} + 12 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\sqrt{x} + 2\right)^{4}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sqrt{x} + 2\right)^{4}}{2}+ \mathrm{constant}$