Integral de 2/3*(x+1)^4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 \left(x + 1\right)^{4}}{3}\, dx = \frac{2 \int \left(x + 1\right)^{4}\, dx}{3}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x + 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x + 1\right)^{5}}{5}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x + 1\right)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{3}\, dx = 4 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 x^{2}\, dx = 6 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} + x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(x + 1\right)^{5}}{15}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(x + 1\right)^{5}}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(x + 1\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x + 1\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$