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Resolución de integrales/ (2x-7)/ (1+3x)/ (2x-7)/(1+3x)^0,5

Integral de (2x-7)/(1+3x)^0,5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |    2*x - 7     
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 1 + 3*x    
 |                
/                 
0
∫012x−73x+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x - 7}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx 
Integral((2*x - 7)/sqrt(1 + 3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3x+1u = \sqrt{3 x + 1}.

      Luego que du=3dx23x+1du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}} y ponemos dudu:

      ∫(4u29−469) du\int \left(\frac{4 u^{2}}{9} - \frac{46}{9}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4u29 du=4∫u2 du9\int \frac{4 u^{2}}{9}\, du = \frac{4 \int u^{2}\, du}{9}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 4u327\frac{4 u^{3}}{27}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−469) du=−46u9\int \left(- \frac{46}{9}\right)\, du = - \frac{46 u}{9}

        El resultado es: 4u327−46u9\frac{4 u^{3}}{27} - \frac{46 u}{9}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4(3x+1)3227−463x+19\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{46 \sqrt{3 x + 1}}{9}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x−73x+1=2x3x+1−73x+1\frac{2 x - 7}{\sqrt{3 x + 1}} = \frac{2 x}{\sqrt{3 x + 1}} - \frac{7}{\sqrt{3 x + 1}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3x+1 dx=2∫x3x+1 dx\int \frac{2 x}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx

        1. que u=13x+1u = \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}.

          Luego que du=−3dx2(3x+1)32du = - \frac{3 dx}{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

          ∫(−2(−13+13u2)2+29−29u2) du\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2} + \frac{2}{9} - \frac{2}{9 u^{2}}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2(−13+13u2)2) du=−2∫(−13+13u2)2 du\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2}\, du

              1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                Método #1

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (−13+13u2)2=19−29u2+19u4\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{9} - \frac{2}{9 u^{2}} + \frac{1}{9 u^{4}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫19 du=u9\int \frac{1}{9}\, du = \frac{u}{9}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−29u2) du=−2∫1u2 du9\int \left(- \frac{2}{9 u^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{9}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: 29u\frac{2}{9 u}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫19u4 du=∫1u4 du9\int \frac{1}{9 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{9}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                    Por lo tanto, el resultado es: −127u3- \frac{1}{27 u^{3}}

                  El resultado es: u9+29u−127u3\frac{u}{9} + \frac{2}{9 u} - \frac{1}{27 u^{3}}

                Método #2

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (−13+13u2)2=u4−2u2+19u4\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{9 u^{4}}

                2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u4−2u2+19u4 du=∫u4−2u2+1u4 du9\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{9 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{9}

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                    u4−2u2+1u4=1−2u2+1u4\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                  2. Integramos término a término:

                    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                      ∫1 du=u\int 1\, du = u

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                      Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                    El resultado es: u+2u−13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

                  Por lo tanto, el resultado es: u9+29u−127u3\frac{u}{9} + \frac{2}{9 u} - \frac{1}{27 u^{3}}

              Por lo tanto, el resultado es: −2u9−49u+227u3- \frac{2 u}{9} - \frac{4}{9 u} + \frac{2}{27 u^{3}}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫29 du=2u9\int \frac{2}{9}\, du = \frac{2 u}{9}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−29u2) du=−2∫1u2 du9\int \left(- \frac{2}{9 u^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{9}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 29u\frac{2}{9 u}

            El resultado es: −29u+227u3- \frac{2}{9 u} + \frac{2}{27 u^{3}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2(3x+1)3227−23x+19\frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 4(3x+1)3227−43x+19\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{4 \sqrt{3 x + 1}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−73x+1) dx=−7∫13x+1 dx\int \left(- \frac{7}{\sqrt{3 x + 1}}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx

        1. que u=3x+1u = 3 x + 1.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫13u du\int \frac{1}{3 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du3\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u3\frac{2 \sqrt{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          23x+13\frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −143x+13- \frac{14 \sqrt{3 x + 1}}{3}

      El resultado es: 4(3x+1)3227−463x+19\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{46 \sqrt{3 x + 1}}{9}

  2. Ahora simplificar:

    23x+1(6x−67)27\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(6 x - 67\right)}{27}

  3. Añadimos la constante de integración:

    23x+1(6x−67)27+constant\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(6 x - 67\right)}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

23x+1(6x−67)27+constant\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(6 x - 67\right)}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                           _________              3/2
 |   2*x - 7            46*\/ 1 + 3*x    4*(1 + 3*x)   
 | ----------- dx = C - -------------- + --------------
 |   _________                9                27      
 | \/ 1 + 3*x                                          
 |                                                     
/
∫2x−73x+1 dx=C+4(3x+1)3227−463x+19\int \frac{2 x - 7}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx = C + \frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{46 \sqrt{3 x + 1}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-110 
-----
  27
−11027- \frac{110}{27} 
=
= 
-110 
-----
  27
−11027- \frac{110}{27} 
-110/27
Respuesta numérica [src] 
-4.07407407407407
-4.07407407407407

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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