Integral de (2x-7)/(1+3x)^0,5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{4 u^{2}}{9} - \frac{46}{9}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 u^{2}}{9}\, du = \frac{4 \int u^{2}\, du}{9}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{27}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{46}{9}\right)\, du = - \frac{46 u}{9}$

         El resultado es: $\frac{4 u^{3}}{27} - \frac{46 u}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{46 \sqrt{3 x + 1}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x - 7}{\sqrt{3 x + 1}} = \frac{2 x}{\sqrt{3 x + 1}} - \frac{7}{\sqrt{3 x + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2} + \frac{2}{9} - \frac{2}{9 u^{2}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{9} - \frac{2}{9 u^{2}} + \frac{1}{9 u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{9}\, du = \frac{u}{9}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{2}{9 u^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{9}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{9 u}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{9 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{9}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{27 u^{3}}$

                        El resultado es: $\frac{u}{9} + \frac{2}{9 u} - \frac{1}{27 u^{3}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{9 u^{4}}$

                     2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{9 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{9}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{9} + \frac{2}{9 u} - \frac{1}{27 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u}{9} - \frac{4}{9 u} + \frac{2}{27 u^{3}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{2}{9}\, du = \frac{2 u}{9}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2}{9 u^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{9}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{9 u}$

               El resultado es: $- \frac{2}{9 u} + \frac{2}{27 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{4 \sqrt{3 x + 1}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{7}{\sqrt{3 x + 1}}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}\, dx$

         1. que $u = 3 x + 1$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{14 \sqrt{3 x + 1}}{3}$

      El resultado es: $\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{46 \sqrt{3 x + 1}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(6 x - 67\right)}{27}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(6 x - 67\right)}{27}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(6 x - 67\right)}{27}+ \mathrm{constant}$