Integral de 5x/(√x^2+7) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $10 du$:

   $\int \frac{10 u^{3}}{u^{2} + 7}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{3}}{u^{2} + 7}\, du = 10 \int \frac{u^{3}}{u^{2} + 7}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = u^{2}$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u}{2 u + 14}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{2 u + 14} = \frac{1}{2} - \frac{7}{2 \left(u + 7\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{7}{2 \left(u + 7\right)}\right)\, du = - \frac{7 \int \frac{1}{u + 7}\, du}{2}$

                  1. que $u = u + 7$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 7 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \log{\left(u + 7 \right)}}{2}$

               El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{7 \log{\left(u + 7 \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2}}{2} - \frac{7 \log{\left(u^{2} + 7 \right)}}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3}}{u^{2} + 7} = u - \frac{7 u}{u^{2} + 7}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{7 u}{u^{2} + 7}\right)\, du = - 7 \int \frac{u}{u^{2} + 7}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u}{u^{2} + 7}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 7}\, du}{2}$

                  1. que $u = u^{2} + 7$.

                     Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u^{2} + 7 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 7 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \log{\left(u^{2} + 7 \right)}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - \frac{7 \log{\left(u^{2} + 7 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 u^{2} - 35 \log{\left(u^{2} + 7 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $5 x - 35 \log{\left(x + 7 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $5 x - 35 \log{\left(x + 7 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$5 x - 35 \log{\left(x + 7 \right)}+ \mathrm{constant}$