Integral de (1/3√x^2-(x+1)/4√x^3) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x + 1}{4} \left(\sqrt{x}\right)^{3}\right)\, dx = - \int \frac{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{3}}{4}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{3}}{4}\, dx = \frac{\int \left(x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{3}\, dx}{4}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \sqrt{x}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

               $\int \left(2 u^{6} + 2 u^{4}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 u^{6}\, du = 2 \int u^{6}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

                  El resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{3} = x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

               El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{7}{2}}}{14} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{3}\, dx = \frac{\int \left(\sqrt{x}\right)^{2}\, dx}{3}$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u^{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6}$

   El resultado es: $- \frac{x^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + \frac{x^{2}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + \frac{x^{2}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + \frac{x^{2}}{6}+ \mathrm{constant}$