Integral de 4cosxsinx-6xsinx+12xcosx-54x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 54 x\right)\, dx = - 54 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 27 x^{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 12 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 12$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 \sin{\left(x \right)}\, dx = 12 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \cos{\left(x \right)}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int 6 x \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 x \sin{\left(x \right)}\, dx = 6 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(x \right)}$:

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 6 x \cos{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- 4 du$:

               $\int \left(- 4 u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - 4 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

            Método #2

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $4 du$:

               $\int 4 u\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = 4 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 \sin^{2}{\left(x \right)}$

         El resultado es: $6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

      El resultado es: $12 x \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos{\left(x \right)}$

   El resultado es: $- 27 x^{2} + 12 x \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 27 x^{2} + 12 x \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 27 x^{2} + 12 x \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$