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Resolución de integrales/ (x)^2/ cos(x)/ sin(x)/ 1/2sin(x)cos(x)+4sin(x)^2

Integral de 1/2sin(x)cos(x)+4sin(x)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                               
  /                               
 |                                
 |  /sin(x)               2   \   
 |  |------*cos(x) + 4*sin (x)| dx
 |  \  2                      /   
 |                                
/                                 
0
∫01(sin⁡(x)2cos⁡(x)+4sin⁡2(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((sin(x)/2)*cos(x) + 4*sin(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u2 du\int \frac{u}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=∫u du2\int u\, du = \frac{\int u\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡2(x)4\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}

      Método #2

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−u2) du\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du2\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)4- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4sin⁡2(x) dx=4∫sin⁡2(x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 2x−sin⁡(2x)2 x - \sin{\left(2 x \right)}

    El resultado es: 2x+sin⁡2(x)4−sin⁡(2x)2 x + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4} - \sin{\left(2 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x+sin⁡2(x)4−sin⁡(2x)+constant2 x + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4} - \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x+sin⁡2(x)4−sin⁡(2x)+constant2 x + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4} - \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                             
 |                                                          2   
 | /sin(x)               2   \                           sin (x)
 | |------*cos(x) + 4*sin (x)| dx = C - sin(2*x) + 2*x + -------
 | \  2                      /                              4   
 |                                                              
/
∫(sin⁡(x)2cos⁡(x)+4sin⁡2(x)) dx=C+2x+sin⁡2(x)4−sin⁡(2x)\int \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + 2 x + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4} - \sin{\left(2 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2                     
    sin (1)                  
2 + ------- - 2*cos(1)*sin(1)
       4
−2sin⁡(1)cos⁡(1)+sin⁡2(1)4+2- 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{4} + 2 
=
= 
       2                     
    sin (1)                  
2 + ------- - 2*cos(1)*sin(1)
       4
−2sin⁡(1)cos⁡(1)+sin⁡2(1)4+2- 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{4} + 2 
2 + sin(1)^2/4 - 2*cos(1)*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
1.26772092774271
1.26772092774271

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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