Sr Examen

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Resolución de integrales/ (1-3x)/ ln(1-3x)

Integral de ln(1-3x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |  log(1 - 3*x) dx
 |                 
/                  
0
∫01log⁡(1−3x) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(1 - 3 x \right)}\, dx 
Integral(log(1 - 3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1−3xu = 1 - 3 x.

      Luego que du=−3dxdu = - 3 dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

      ∫(−log⁡(u)3) du\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(u) du=−∫log⁡(u) du3\int \log{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        Por lo tanto, el resultado es: −ulog⁡(u)3+u3- \frac{u \log{\left(u \right)}}{3} + \frac{u}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x−(1−3x)log⁡(1−3x)3+13- x - \frac{\left(1 - 3 x\right) \log{\left(1 - 3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(1−3x)u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - 3 x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du⁡(x)=−31−3x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{3}{1 - 3 x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3x1−3x) dx=−3∫x1−3x dx\int \left(- \frac{3 x}{1 - 3 x}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{1 - 3 x}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x1−3x=−13−13(3x−1)\frac{x}{1 - 3 x} = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−13) dx=−x3\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, dx = - \frac{x}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−13(3x−1)) dx=−∫13x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{3 x - 1}\, dx}{3}

            1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

              Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫13u du\int \frac{1}{3 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(3x−1)3\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(3x−1)9- \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

          El resultado es: −x3−log⁡(3x−1)9- \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x1−3x=−x3x−1\frac{x}{1 - 3 x} = - \frac{x}{3 x - 1}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x3x−1) dx=−∫x3x−1 dx\int \left(- \frac{x}{3 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{3 x - 1}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x3x−1=13+13(3x−1)\frac{x}{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫13 dx=x3\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫13(3x−1) dx=∫13x−1 dx3\int \frac{1}{3 \left(3 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{3 x - 1}\, dx}{3}

              1. que u=3x−1u = 3 x - 1.

                Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

                ∫13u du\int \frac{1}{3 u}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(3x−1)3\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(3x−1)9\frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

            El resultado es: x3+log⁡(3x−1)9\frac{x}{3} + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −x3−log⁡(3x−1)9- \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{9}

      Por lo tanto, el resultado es: x+log⁡(3x−1)3x + \frac{\log{\left(3 x - 1 \right)}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    −x+(3x−1)log⁡(1−3x)3+13- x + \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(1 - 3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x+(3x−1)log⁡(1−3x)3+13+constant- x + \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(1 - 3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x+(3x−1)log⁡(1−3x)3+13+constant- x + \frac{\left(3 x - 1\right) \log{\left(1 - 3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                   1           (1 - 3*x)*log(1 - 3*x)
 | log(1 - 3*x) dx = - + C - x - ----------------------
 |                   3                     3           
/
∫log⁡(1−3x) dx=C−x−(1−3x)log⁡(1−3x)3+13\int \log{\left(1 - 3 x \right)}\, dx = C - x - \frac{\left(1 - 3 x\right) \log{\left(1 - 3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.30-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2*log(2)   2*pi*I
-1 + -------- + ------
        3         3
−1+2log⁡(2)3+2iπ3-1 + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{2 i \pi}{3} 
=
= 
     2*log(2)   2*pi*I
-1 + -------- + ------
        3         3
−1+2log⁡(2)3+2iπ3-1 + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{2 i \pi}{3} 
-1 + 2*log(2)/3 + 2*pi*i/3
Respuesta numérica [src] 
(-0.570568613327377 + 2.11160467510576j)
(-0.570568613327377 + 2.11160467510576j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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