Integral de (x-t)^4*y*t dt

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $t y \left(- t + x\right)^{4} = t^{5} y - 4 t^{4} x y + 6 t^{3} x^{2} y - 4 t^{2} x^{3} y + t x^{4} y$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int t^{5} y\, dt = y \int t^{5}\, dt$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t^{5}\, dt = \frac{t^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t^{6} y}{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 t^{4} x y\right)\, dt = - 4 x y \int t^{4}\, dt$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t^{4}\, dt = \frac{t^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 t^{5} x y}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 6 t^{3} x^{2} y\, dt = 6 x^{2} y \int t^{3}\, dt$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t^{3}\, dt = \frac{t^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 t^{4} x^{2} y}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 t^{2} x^{3} y\right)\, dt = - 4 x^{3} y \int t^{2}\, dt$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 t^{3} x^{3} y}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int t x^{4} y\, dt = x^{4} y \int t\, dt$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t^{2} x^{4} y}{2}$

   El resultado es: $\frac{t^{6} y}{6} - \frac{4 t^{5} x y}{5} + \frac{3 t^{4} x^{2} y}{2} - \frac{4 t^{3} x^{3} y}{3} + \frac{t^{2} x^{4} y}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{t^{2} y \left(5 t^{4} - 24 t^{3} x + 45 t^{2} x^{2} - 40 t x^{3} + 15 x^{4}\right)}{30}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t^{2} y \left(5 t^{4} - 24 t^{3} x + 45 t^{2} x^{2} - 40 t x^{3} + 15 x^{4}\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t^{2} y \left(5 t^{4} - 24 t^{3} x + 45 t^{2} x^{2} - 40 t x^{3} + 15 x^{4}\right)}{30}+ \mathrm{constant}$