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Resolución de integrales/ (x-t)^4*y*t

Integral de (x-t)^4*y*t dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                
  /                
 |                 
 |         4       
 |  (x - t) *y*t dt
 |                 
/                  
0
∫0xty(−t+x)4 dt\int\limits_{0}^{x} t y \left(- t + x\right)^{4}\, dt 
Integral(((x - t)^4*y)*t, (t, 0, x))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    ty(−t+x)4=t5y−4t4xy+6t3x2y−4t2x3y+tx4yt y \left(- t + x\right)^{4} = t^{5} y - 4 t^{4} x y + 6 t^{3} x^{2} y - 4 t^{2} x^{3} y + t x^{4} y

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫t5y dt=y∫t5 dt\int t^{5} y\, dt = y \int t^{5}\, dt

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫t5 dt=t66\int t^{5}\, dt = \frac{t^{6}}{6}

      Por lo tanto, el resultado es: t6y6\frac{t^{6} y}{6}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4t4xy) dt=−4xy∫t4 dt\int \left(- 4 t^{4} x y\right)\, dt = - 4 x y \int t^{4}\, dt

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫t4 dt=t55\int t^{4}\, dt = \frac{t^{5}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −4t5xy5- \frac{4 t^{5} x y}{5}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫6t3x2y dt=6x2y∫t3 dt\int 6 t^{3} x^{2} y\, dt = 6 x^{2} y \int t^{3}\, dt

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫t3 dt=t44\int t^{3}\, dt = \frac{t^{4}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 3t4x2y2\frac{3 t^{4} x^{2} y}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4t2x3y) dt=−4x3y∫t2 dt\int \left(- 4 t^{2} x^{3} y\right)\, dt = - 4 x^{3} y \int t^{2}\, dt

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫t2 dt=t33\int t^{2}\, dt = \frac{t^{3}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −4t3x3y3- \frac{4 t^{3} x^{3} y}{3}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫tx4y dt=x4y∫t dt\int t x^{4} y\, dt = x^{4} y \int t\, dt

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫t dt=t22\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: t2x4y2\frac{t^{2} x^{4} y}{2}

    El resultado es: t6y6−4t5xy5+3t4x2y2−4t3x3y3+t2x4y2\frac{t^{6} y}{6} - \frac{4 t^{5} x y}{5} + \frac{3 t^{4} x^{2} y}{2} - \frac{4 t^{3} x^{3} y}{3} + \frac{t^{2} x^{4} y}{2}

  3. Ahora simplificar:

    t2y(5t4−24t3x+45t2x2−40tx3+15x4)30\frac{t^{2} y \left(5 t^{4} - 24 t^{3} x + 45 t^{2} x^{2} - 40 t x^{3} + 15 x^{4}\right)}{30}

  4. Añadimos la constante de integración:

    t2y(5t4−24t3x+45t2x2−40tx3+15x4)30+constant\frac{t^{2} y \left(5 t^{4} - 24 t^{3} x + 45 t^{2} x^{2} - 40 t x^{3} + 15 x^{4}\right)}{30}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

t2y(5t4−24t3x+45t2x2−40tx3+15x4)30+constant\frac{t^{2} y \left(5 t^{4} - 24 t^{3} x + 45 t^{2} x^{2} - 40 t x^{3} + 15 x^{4}\right)}{30}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                       
 |                          6      2  4        3  3          5        4  2
 |        4              y*t    y*t *x    4*y*t *x    4*x*y*t    3*y*t *x 
 | (x - t) *y*t dt = C + ---- + ------- - --------- - -------- + ---------
 |                        6        2          3          5           2    
/
∫ty(−t+x)4 dt=C+t6y6−4t5xy5+3t4x2y2−4t3x3y3+t2x4y2\int t y \left(- t + x\right)^{4}\, dt = C + \frac{t^{6} y}{6} - \frac{4 t^{5} x y}{5} + \frac{3 t^{4} x^{2} y}{2} - \frac{4 t^{3} x^{3} y}{3} + \frac{t^{2} x^{4} y}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
   6
y*x 
----
 30
x6y30\frac{x^{6} y}{30} 
=
= 
   6
y*x 
----
 30
x6y30\frac{x^{6} y}{30} 
y*x^6/30

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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