Integral de arcsin(8*x-2) dx

1. que $u = 8 x - 2$.

   Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

   $\int \frac{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}{8}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du}{8}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. que $u = 1 - u^{2}$.

         Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{1 - u^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{8} + \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{8}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\sqrt{1 - \left(8 x - 2\right)^{2}}}{8} + \frac{\left(8 x - 2\right) \operatorname{asin}{\left(8 x - 2 \right)}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{1 - 4 \left(4 x - 1\right)^{2}}}{8} + \frac{\left(4 x - 1\right) \operatorname{asin}{\left(8 x - 2 \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{1 - 4 \left(4 x - 1\right)^{2}}}{8} + \frac{\left(4 x - 1\right) \operatorname{asin}{\left(8 x - 2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{1 - 4 \left(4 x - 1\right)^{2}}}{8} + \frac{\left(4 x - 1\right) \operatorname{asin}{\left(8 x - 2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$