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Resolución de integrales/ cos^2/ dx/cos/ tg^3x/ tg^3xdx/cos^2x

Integral de tg^3xdx/cos^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  tan (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫01tan⁡3(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(tan(x)^3/cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡3(x)sec⁡2(x)=(sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec⁡2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(u2−12) du\int \left(\frac{u}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=∫u du2\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u24\frac{u^{2}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−12) du=−u2\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{u}{2}

        El resultado es: u24−u2\frac{u^{2}}{4} - \frac{u}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)=tan⁡(x)sec⁡4(x)−tan⁡(x)sec⁡2(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u3 du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u du\int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡2(x)2- \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)sec⁡2(x)=tan⁡(x)sec⁡4(x)−tan⁡(x)sec⁡2(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u3 du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u du\int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡2(x)2- \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    (sec⁡2(x)−2)sec⁡2(x)4\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (sec⁡2(x)−2)sec⁡2(x)4+constant\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(sec⁡2(x)−2)sec⁡2(x)4+constant\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                                   
 |    3                2         4   
 | tan (x)          sec (x)   sec (x)
 | ------- dx = C - ------- + -------
 |    2                2         4   
 | cos (x)                           
 |                                   
/
∫tan⁡3(x)cos⁡2(x) dx=C+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\int \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9020-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
              2   
1   -1 + 2*cos (1)
- - --------------
4          4      
      4*cos (1)
14−−1+2cos⁡2(1)4cos⁡4(1)\frac{1}{4} - \frac{-1 + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} 
=
= 
              2   
1   -1 + 2*cos (1)
- - --------------
4          4      
      4*cos (1)
14−−1+2cos⁡2(1)4cos⁡4(1)\frac{1}{4} - \frac{-1 + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} 
1/4 - (-1 + 2*cos(1)^2)/(4*cos(1)^4)
Respuesta numérica [src] 
1.47078538753166
1.47078538753166

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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