Integral de cos^3x/sin^3x dx

Solución

Ha introducido [src]

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cos (x)   
 |  ------- dx
 |     3      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$

Integral(cos(x)^3/sin(x)^3, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\, du$
    1. que $u = u^{2}$ .
      
      Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u - 1}{2 u^{2}}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du}{2}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u - 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$
      
      El resultado es: $\log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2} + \frac{1}{2 u}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2 u^{2}}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx$
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\, du$
    1. que $u = u^{2}$ .
      
      Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{u - 1}{2 u^{2}}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du}{2}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u - 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$
      
      El resultado es: $\log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2} + \frac{1}{2 u}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
  El resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                         
 |                                          
 |    3                            /   2   \
 | cos (x)              1       log\sin (x)/
 | ------- dx = C - --------- - ------------
 |    3                  2           2      
 | sin (x)          2*sin (x)               
 |                                          
/

$$\int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Respuesta [src]

oo

$$\infty$$

oo

$$\infty$$

oo

Respuesta numérica [src]

9.15365037903492e+37

9.15365037903492e+37

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos^3x/sin^3x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3