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Resolución de integrales/ cos^3/ sin^3/ cos^3x/sin^3x

Integral de cos^3x/sin^3x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cos (x)   
 |  ------- dx
 |     3      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0
∫01cos⁡3(x)sin⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cos(x)^3/sin(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡3(x)sin⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u2−1u3) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−1u3 du=−∫u2−1u3 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\, du

        1. que u=u2u = u^{2}.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫u−12u2 du\int \frac{u - 1}{2 u^{2}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u−1u2 du=∫u−1u2 du2\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du}{2}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u−1u2=1u−1u2\frac{u - 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

              El resultado es: log⁡(u)+1u\log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2+12u\frac{\log{\left(u \right)}}{2} + \frac{1}{2 u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(u2)2+12u2\frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u2)2−12u2- \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(sin⁡2(x))2−12sin⁡2(x)- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡3(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡3(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡3(x) dx\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2−1u3 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{3}}\, du

        1. que u=u2u = u^{2}.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫u−12u2 du\int \frac{u - 1}{2 u^{2}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u−1u2 du=∫u−1u2 du2\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du}{2}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u−1u2=1u−1u2\frac{u - 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

              El resultado es: log⁡(u)+1u\log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2+12u\frac{\log{\left(u \right)}}{2} + \frac{1}{2 u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(u2)2+12u2\frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡2(x))2+12sin⁡2(x)\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(sin⁡2(x))2−12sin⁡2(x)- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡3(x)=−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)sin⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x)sin⁡(x) dx\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(sin⁡(x))- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12sin⁡2(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −log⁡(sin⁡(x))−12sin⁡2(x)- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(sin⁡2(x))2−12sin⁡2(x)+constant- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(sin⁡2(x))2−12sin⁡2(x)+constant- \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 |    3                            /   2   \
 | cos (x)              1       log\sin (x)/
 | ------- dx = C - --------- - ------------
 |    3                  2           2      
 | sin (x)          2*sin (x)               
 |                                          
/
∫cos⁡3(x)sin⁡3(x) dx=C−log⁡(sin⁡2(x))2−12sin⁡2(x)\int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
9.15365037903492e+37
9.15365037903492e+37

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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