Integral de (xsqrt2-2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2} x - 2$.

      Luego que $du = \sqrt{2} dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{2} du}{2}$:

      $\int \frac{\sqrt{2} u^{2}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\sqrt{2} \int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x - 2\right)^{3}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{2} x - 2\right)^{2} = 2 x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 4$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 \sqrt{2} x\right)\, dx = - 4 \sqrt{2} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{2} x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + 4 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x - 2\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x - 2\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x - 2\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$