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Resolución de integrales/ 1+cosx/ (1/2)*(1+cosx)^2

Integral de (1/2)*(1+cosx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  (1 + cos(x))    
 |  ------------- dx
 |        2         
 |                  
/                   
pi                  
--                  
3
∫π3π(cos⁡(x)+1)22 dx\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}\, dx 
Integral((1 + cos(x))^2/2, (x, pi/3, pi))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(cos⁡(x)+1)22 dx=∫(cos⁡(x)+1)2 dx2\int \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}\, dx = \frac{\int \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}\, dx}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos⁡(x)+1)2=cos⁡2(x)+2cos⁡(x)+1\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1

      2. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡(x) dx=2∫cos⁡(x) dx\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(x)2 \sin{\left(x \right)}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: 3x2+2sin⁡(x)+sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} + 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos⁡(x)+1)2=cos⁡2(x)+2cos⁡(x)+1\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1

      2. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡(x) dx=2∫cos⁡(x) dx\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(x)2 \sin{\left(x \right)}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: 3x2+2sin⁡(x)+sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} + 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: 3x4+sin⁡(x)+sin⁡(2x)8\frac{3 x}{4} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x4+sin⁡(x)+sin⁡(2x)8+constant\frac{3 x}{4} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x4+sin⁡(x)+sin⁡(2x)8+constant\frac{3 x}{4} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 |             2                                 
 | (1 + cos(x))           sin(2*x)   3*x         
 | ------------- dx = C + -------- + --- + sin(x)
 |       2                   8        4          
 |                                               
/
∫(cos⁡(x)+1)22 dx=C+3x4+sin⁡(x)+sin⁡(2x)8\int \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2}\, dx = C + \frac{3 x}{4} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
1.21.41.61.82.02.22.42.62.83.00.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         ___
pi   9*\/ 3 
-- - -------
2       16
−9316+π2- \frac{9 \sqrt{3}}{16} + \frac{\pi}{2} 
=
= 
         ___
pi   9*\/ 3 
-- - -------
2       16
−9316+π2- \frac{9 \sqrt{3}}{16} + \frac{\pi}{2} 
pi/2 - 9*sqrt(3)/16
Respuesta numérica [src] 
0.596517747537403
0.596517747537403

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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