Sr Examen
Integral de (3*x-1)/(2*x^2+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3*x - 1 | -------- dx | 2 | 2*x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{2 x^{2} + 1}\, dx$$
Integral((3*x - 1)/(2*x^2 + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3*x - 1 | -------- dx | 2 | 2*x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
2*2*x
3*-------------- /-1 \
2 |---|
3*x - 1 2*x + 0*x + 1 \ 1 /
-------- = ---------------- + ---------------
2 4 2
2*x + 1 / ___ \
\-\/ 2 *x/ + 1o
/ | | 3*x - 1 | -------- dx | 2 = | 2*x + 1 | /
/
|
| 2*2*x
3* | -------------- dx
| 2
/ | 2*x + 0*x + 1
| |
| 1 /
- | --------------- dx + ----------------------
| 2 4
| / ___ \
| \-\/ 2 *x/ + 1
|
/ En integral
/
|
| 2*2*x
3* | -------------- dx
| 2
| 2*x + 0*x + 1
|
/
----------------------
4 hacemos el cambio
2 u = 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
3* | ----- du
| 1 + u
|
/ 3*log(1 + u)
------------- = ------------
4 4 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*2*x
3* | -------------- dx
| 2
| 2*x + 0*x + 1
| / 2\
/ 3*log\1 + 2*x /
---------------------- = ---------------
4 4 En integral
/ | | 1 - | --------------- dx | 2 | / ___ \ | \-\/ 2 *x/ + 1 | /
hacemos el cambio
___ v = -x*\/ 2
entonces
integral =
/ | | 1 - | ------ dv = -atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | ___ / ___\ | 1 -\/ 2 *atan\x*\/ 2 / - | --------------- dx = --------------------- | 2 2 | / ___ \ | \-\/ 2 *x/ + 1 | /
La solución:
/1 2\
3*log|- + x | ___ / ___\
\2 / \/ 2 *atan\x*\/ 2 /
C + ------------- - -------------------
4 2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2\ ___ / ___\ | 3*x - 1 3*log\1 + 2*x / \/ 2 *atan\x*\/ 2 / | -------- dx = C + --------------- - ------------------- | 2 4 2 | 2*x + 1 | /
$$\int \frac{3 x - 1}{2 x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(2 x^{2} + 1 \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___ / ___\ 3*log(2) 3*log(3/2) \/ 2 *atan\\/ 2 / -------- + ---------- - ----------------- 4 4 2
$$- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{4} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{4}$$
=
=
___ / ___\ 3*log(2) 3*log(3/2) \/ 2 *atan\\/ 2 / -------- + ---------- - ----------------- 4 4 2
$$- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{4} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{4}$$
3*log(2)/4 + 3*log(3/2)/4 - sqrt(2)*atan(sqrt(2))/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.